【解析几何】齐次化联立

齐次化联立可能是课改之后唯二甚至唯一高考中可以正常使用而不至于被扣分的技巧。

凭心而论，这是因为这个技巧不够高级，甚至有时用起来是在自掘坟墓，所以才能在高考中无所顾忌的使用，也正是因为这个技巧不够高级，因此能用齐次化联立做的题目，用普通联立一定做得出，用普通联立做不出的题目，那么用齐次化联立也做不出。

当然，齐次化联立有它的好处，好处就是联立方程好写好整理，斜率积斜率和的表达形式简单，换句话说，齐次化联立从解题思想上，仍是传统联立那一套。但是运算上， $70\%$ 左右的情况会比传统联立简单一些——有相当多的题目使用这个技巧会让计算变得更复杂，这是绝对不能忽视的，因此掌握之后不可滥用。

齐次化联立的核心思想只有一个，就是将题目中涉及的斜率直接变成一个一元二次方程的两个根，这样直接根据韦达定理，我们就可以得到斜率和、斜率积的表达式。

By Rhonsua

例题 1

先用一个例题引入最简单模式的齐次化联立：

已知抛物线 $C: y^2=2px$ ， $O$ 为坐标原点， $A,B\in C$ ， $OA \perp OB$ ，证明：直线 $AB$ 过定点。

传统联立：

由题意知， $AB$ 不过原点。设 $AB:x=my+n$ ，点 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ 。

\begin{cases}x=my+n\\y^2=2px\end{cases}

y_{1}+y_{2}=2pm, y_{1}y_{2}=-2pn

因为 $OA\perp OB$ ，

k_{1}k_{2}=\frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{y_{1}y_{2}}{(my_{1}+n)(my_{2}+n)}=\frac{-2pn}{-2pnm^{2}+2pnm^{2}+n^{2}}=-1

即 $n=2p$ 。
所以 $AB$ 恒过点 $(2p,0)$ 。

齐次化联立：

由题意知， $AB$ 不过原点。设 $AB:mx+ny=1$ ，点 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ 。

（注意该种设法是配合齐次化联立，该设法类似截距式方程，同样不过原点，但 $m,n$ 可以为 $0$ ）

\begin{cases}mx+ny=1\\y^2=2px\end{cases}

y^{2}=2px\cdot(mx+ny)

整理得：

y ^2-2 pnxy - 2 pmx ^2= 0

因为 $AB$ 不过原点， $x\neq0$ 。则：

\dfrac{y^2}{x^2}-2pn\dfrac yx-2pm=0

\dfrac{y_{1}}{x_{1}}+\dfrac{y_{2}}{x_{2}}=2pn,\frac{y_{1}}{x_{1}}\cdot\frac{y_{2}}{x_{2}}=-2pm

k_{OA}\cdot k_{OB}=\frac{y_1}{x_1}\cdot\frac{y_2}{x_2}=-2pm=-1

故 $2pm=1$ 。易知当 $x=2p$ 时， $y=0$ 。所以 $AB$ 恒过点 $(2p,0)$ 。

我们基本可以看出，设直线方程 $mx+ny=1$ 的目的是方便升次，常数乘 $(mx+ny)^2$ ，一次项乘 $mx+ny$ ，二次项不变，便可以得到关于两个斜率和积的关系。

例题 2

上面一题还没看出计算优势。来看下面一道：

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt2}2$ 。以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 $x-y+2=0$ 相切。
求椭圆 $C$ 的标准方程；
设 $A(-2,0)$ ，过点 $R(1,0)$ 作与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M,N$ 两点，连接 $AM,AN$ ，分别交直线 $x=3$ 于 $P,Q$ 两点。若直线 $PR,QR$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$ 。
试问 $k_1k_2$ 是否为定值？若是，求出 $k_1k_2$ ；若不是，请说明理由。