在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由 19 世纪英国数学家凯利首先提出。

由 $mn$ 个数 $a_{ij}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表称为 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。

A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

$\LaTeX$ ：

A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}

前置知识

$a_{ij}$ 位于 $A$ 的 $i$ 行 $j$ 列，称为 $A$ 的 $(i,j)$ 元，这个矩阵可记为 $(a_{i,j})$ ， $(a\_{i,j})\_{mn}$ ，矩阵 $A$ ，矩阵 $A_{mn}$ 。行列数都是 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶矩阵。

矩阵的大小由行数和列数确定。 $m$ 和 $n$ 是矩阵的维度。只有一行的矩阵成为行向量，只有一列的矩阵称为列向量，行和列相同的矩阵称为方阵。

矩阵运算

矩阵的加减法

两个行列数均相同的矩阵 $A,B$ 可通过加减产生矩阵 $C$ 。

C=A+b \quad\quad\quad\quad c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

C=A-b \quad\quad\quad\quad c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}

矩阵的数乘

数字 $\lambda$ 和矩阵 $A$ 相乘得到矩阵 $B$ 。

B=\lambda A \quad\quad\quad\quad b_{ij}=\lambda a_{ij}

对于任意的实数 $\lambda,\mu$ 和矩阵 $A,B$ （ $A,B$ 行列数均相同），有：

\begin{aligned} \lambda(\mu A)&=\mu(\lambda A)\\\\ \lambda(\mu A)&=(\lambda\mu)A \\\\ (\lambda+\mu)A&=\lambda A+\mu A\\\\ \lambda(A+B)&=\lambda A+\lambda B\\\\ \end{aligned}

矩阵的加减法和数乘运算称为矩阵的线性运算。

矩阵乘法

矩阵 $A_{nm}$ 和 $B_{mp}$ 可进行矩阵乘法。得到的矩阵 $C_{np}=A_{nm}B_{mp}$ ，其中：

c_{ij}=\sum_{k=1}^ma_{ik}b_{kj}

举个例子：

\begin{aligned} &\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1\\\\ 2 & 1\\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\\\\\\\\ =& \begin{bmatrix} (1\times3+0\times2+2\times1) & (1\times1+0\times1+2\times0)\\\\ (-1\times3+3\times2+1\times1) & (-1\times1+3\times1+1\times0) \end{bmatrix}\\\\\\\\ =& \begin{bmatrix} 5 & 1\\\\ 4 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

矩阵乘法满足以下运算律：

结合律： $(AB)C=A(BC)$ ；
左分配律： $(A+B)C=AC+BC$ ；
右分配律： $C(A+B)=CA+CB$ 。

显然，矩阵乘法不满足交换律。

转置

$A$ 的转置 $A^T$ 通过反转 $A$ 的行和列得到。

\begin{aligned} A&=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\\\\\\\\ A^T&= \begin{bmatrix} 1 & 4\\\\ 2 & 5\\\\ 3 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}

单位矩阵

单位矩阵 $E$ 的对角线都是 $1$ ，其他等于 $0$ 。

EA=A

E= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

矩阵快速幂

P3390 【模板】矩阵快速幂。

运用了矩阵乘法的结合律。

模板

typedef long long ll;
const ll N=5,mod=1000000007;
struct Matrix //方阵 
{
	ll M[N][N],n;
	Matrix(ll type,ll s)//若 type 不为 0，构造一个单位矩阵
	{
		memset(M,0,sizeof(M)); n=s;
		if(type) for(ll i=1;i<=N-1;i++) M[i][i]=1;
	}
	Matrix(ll s,const ll N[])//根据数组 N 进行初始化
	{
		memset(M,0,sizeof(M)); n=s;
		for(ll i=1;i<=n;i++)
			for(ll j=1;j<=n;j++)
				M[i][j]=N[i*n-n+j-1];
	}
	void print()
	{
		for(ll i=1;i<=n;i++)
		{
			for(ll j=1;j<=n;j++)
				printf("%lld ",M[i][j]);
			printf("\n");
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	Matrix operator*(const Matrix &N)//矩阵乘法
	{
		Matrix ret(0,n);
		for(ll i=1;i<=n;i++)
			for(ll k=1;k<=n;k++)
				for(ll j=1;j<=n;j++)//j,k 互换可能会更快
					ret.M[i][j]=(ret.M[i][j]+M[i][k]*N.M[k][j]%mod)%mod;
		return ret;
	}
	Matrix operator^(ll k)//矩阵快速幂
	{
		Matrix ret(1,n),tmp=*this;
		while(k)
		{
			if(k%2) ret=ret*tmp;
			tmp=tmp*tmp; k/=2;
		}
		return ret;
	}
	void operator^=(ll k) {*this=*this^k;}
};

本文作者：Yurchiu

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OI 数论线性代数矩阵

最后更新：2023-08-21, 23:18:20

By Yurchiu.

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