注：内容为 Rhonsua Chu 完成，排版为 Yurchiu 完成。后面的几篇类似的，同样。

【解析几何】等效判别式

平常做题时对于直线与椭圆、双曲线的位置关系可以通过联立，看解的个数来判断。频繁联立是非常麻烦的，这里便介绍一种简化该过程的方法——等效判别式法。

By——Rhonsua

回归本质：什么是判别式

对于常见的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来说，我们通过以下方法来求它的根：

配凑得到

\large(x+\dfrac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4^2}

所以，

\large x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

这就是常见的二次方程的求根公式。

当存在两个实数解时： $b^2-4ac>0$ ；
当存在两个相同实数解时： $b^2-4ac=0$ ；
当不存在实数解时： $b^2-4ac<0$ 。

所以令 $\Delta=b^2-4ac$ ，可以通过判断 $\Delta$ 的正负来判断一元二次方程的解的个数。 $b^2-4ac$ 就叫做一元二次方程的判别式。

椭圆情形

对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 和直线 $Ax+By+C=0$ ，等效判别式 $\Delta=A^2a^2+B^2b^2-C^2$ 。

当存在两个交点时： $\Delta>0$ ；
当存在一个交点时： $\Delta=0$ ；
当不存在交点时： $\Delta<0$ 。

证明 1：

联立：

\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\ Ax+By+C=0 \end{cases} \\\\ 0&=(A^2a^2+B^2b^2)x^2+2ACa^2x+a^2(C^2-B^2b^2) \\\\ \Delta&=(2ACa^2)^2-4a^2(C^2-B^2b^2)(A^2a^2+B^2b^2) \\ &=(2abB)^2(A^2a^2+B^2b^2-C^2) \end{aligned}

因为 $(2abB)^2>0$ ，所以 $\Delta$ 符号只与 $A^2a^2+B^2b^2-C^2$ 有关。

可令等效判别式 $\Delta=A^2a^2+B^2b^2-C^2$ 。

证明 2（三角换元）：

已知有 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ 。对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ，可令：

\large\begin{aligned} x&=a\sin\alpha,\\ y&=b\cos\alpha \end{aligned}

其中 $\alpha\in[0,2\pi)$ 。

则椭圆上一点 $P(a\sin\alpha,b\cos\alpha)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离为：

\large d=\dfrac{|Aa\sin\alpha+Bb\cos\alpha+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}= \dfrac{|\sqrt{A^2a^2+B^2b^2}\sin(\alpha+\varphi)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

令 $d=0$ 。则：

(A^2a^2+B^2b^2)\sin^2(\alpha+\varphi)=C^2 \tag{1}

因为 $\sin^2(\alpha+\varphi)\in[0,1]$ ，所以，若

\large\dfrac{C^2}{(A^2a^2+B^2b^2)}>1\implies A^2a^2+B^2b^2-C^2<0

则方程 $1$ 无解，位置关系为相离。

由此类推， $A^2a^2+B^2b^2-C^2=0$ ，一个解，相切； $A^2a^2+B^2b^2-C^2>0$ ，两个解，相交。

双曲线情形

对于双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 和直线 $Ax+By+C=0$ ，等效判别式 $\Delta=-A^2a^2+B^2b^2+C^2$ 。

当存在两个交点时： $\Delta>0$ ；
当存在一个交点时： $\Delta=0$ ；
当不存在交点时： $\Delta<0$ 。

证明 1：

联立：

\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \\ Ax+By+C=0 \end{cases} \\\\ 0&=(-A^2a^2+B^2b^2)x^2-2ACa^2x-a^2(C^2+B^2b^2) \\\\ \Delta&=(2ACa^2)^2+4a^2(C^2+B^2b^2)(-A^2a^2+B^2b^2) \\ &=(2abB)^2(-A^2a^2+B^2b^2+C^2) \end{aligned}

因为 $(2abB)^2>0$ ，所以 $\Delta$ 符号只与 $-A^2a^2+B^2b^2+C^2$ 有关。

可令等效判别式 $\Delta=-A^2a^2+B^2b^2+C^2$ 。

证明 2（三角换元）：

已知有 $\sec^2\alpha-\tan^2\alpha=1$ 。对于双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ，可令：

\large\begin{aligned}x&=a\sec\alpha,\\y&=b\tan\alpha\end{aligned}

其中 $\alpha\in[0,2\pi)$ 。

则双曲线上一点 $P(a\sec\alpha,b\tan\alpha)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离为：

\large d=\dfrac{|Aa\sec\alpha+Bb\tan\alpha+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}= \dfrac{|\sqrt{C^2+B^2b^2}\sin(\alpha+\varphi)+Aa|}{|\sqrt{A^2+B^2}\cos\alpha|}

令 $d=0$ 。则：

(C^2+B^2b^2)\sin^2(\alpha+\varphi)=A^2a^2 \tag{2}

因为 $\sin^2(\alpha+\varphi)\in[0,1]$ ，所以，若

\large\dfrac{A^2a^2}{(C^2+B^2b^2)}>1\implies A^2a^2+B^2b^2-C^2<0

则方程 $2$ 无解，位置关系为相离。

由此类推， $-A^2a^2+B^2b^2+C^2=0$ ，一个解，相切； $-A^2a^2+B^2b^2+C^2>0$ ，两个解，相交。

（注意：过原点的直线不会与标准双曲线相切）

小知识点补充

圆锥曲线垂径定理：已知标准圆锥曲线上两点 $A$ ， $B$ ，点 $M$ 为线段 $AB$ 的中点。则：

椭圆： $k_{AB}·k_{OM}=-\dfrac{b^2}{a^2}=e^2-1$ ；
双曲线： $k_{AB}·k_{OM}=\dfrac{b^2}{a^2}=e^2-1$ 。

另外，抛物线也有类似的性质：抛物线的一簇平行弦的中点共线。当抛物线方程为 $y^2=2px$ 时，若这些弦的斜率为 $k$ ，那么它们的中点在直线 $y=pk$ 上，若这些弦斜率不存在，那么它们的中点在 $x$ 轴上；当抛物线方程为 $x^2=2py$ 时，设这些弦的斜率为 $k$ ，那么它们的中点在直线 $x=pk$ 上。

本文作者：Rhonsua

本文链接：https://yz-hs.github.io/30b17991ae72/

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最后更新：2023-08-21, 23:18:21

By Yurchiu.

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