【解析几何】椭圆尺度变换

仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换、翻转变换。仿射变换涉及矩阵知识，笔者尚无能力，这里浅谈一下椭圆的仿射变换（尺度变换）。—— by Rhonsua

我们都知道椭圆标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$ 。如果我们将坐标轴进行尺度变换（伸缩变换）：

f:\begin{cases}x'=\dfrac xa\\\\y'=\dfrac yb&\end{cases}

即将 $x$ 轴压缩到原来的 $\dfrac1a$ ，将 $y$ 轴压缩到原来的 $\dfrac1b$ 。

那么我们在新坐标系 $x'Oy'$ 中便有 $(x')^2+(y')^2=1$ ，即将椭圆问题转换为了圆的问题，我们可以通过探究圆的性质来探究椭圆的性质。

性质

同素性：经过变换之后，点还是点，线还是线；
结合性：在经过变换之后，线上的点仍然在直线上；
保共线性：若 $A,B,C$ 三点共线，则 $A',B',C'$ 也三点共线；
保平行性：若 $AB//CD$ 则 $A'B'//C'D'$ ；
保比例不变性：若 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BC}$ ，则 $\overrightarrow{A'B'}=\lambda\overrightarrow{B'C'}$ ；
面积：成比例缩放 $S'=\dfrac S{ab}$ （祖暅原理）。

证明：

因为三点共线，

\therefore k_{AB}=k_{BC},\therefore\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_2-y_3}{x_2-x_3}

只需证 $k _ { A ^ { \prime }B^{\prime}}=k_{B^{\prime}C^{\prime}}$ ，即 $\dfrac{y_1^{\prime}-{y_2}^{\prime}}{x_1^{\prime}-{x_2}^{\prime}}=\dfrac{y_2^{\prime}-{y_3}^{\prime}}{x_2^{\prime}-{x_3}^{\prime}}$ 。

又有 $y^{\prime}=by,x^{\prime}=bx$ ， $\dfrac{y_1'-y_2'}{x_1'-x_2'}=\dfrac{by_1-by_2}{ax_1-ax_2}=\dfrac ba\cdot\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac ba\dfrac{y_2-y_3}{x_2-x_3}=\dfrac{y_2'-y_3'}{x_2'-x_3'}$ 。