【空间向量】叉积

曾经有人问过我这样一个问题，在求二面角时令两个平面的法向量一个指内一个指外（如下图），就可以保证所求的角是二面角。

那么如何保证这两个法向量的方向呢？~~实际上这个问题很简单，观察法就能很好解决~~。但在这里引出一个概念：叉积（又称叉乘，外积，向量积）。

符号表示： $\vec{a}\times\vec{b}$ 。

二维叉积

叉积的结果是一个向量，并非一个数。
几何意义：二维叉积表示两向量围成的平行四边形的面积（有向面积）。
$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\left\|\vec{a}\left\|\vec{b}\right|\sin\theta\right|$
这里 $\theta$ 为 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角。
计算：点积是数组运算，叉积计算是矩阵运算。所以这里要用到行列式。因为这里只用到二阶和三阶的行列式，因此只简单介绍二阶三阶行列式的运算。
设两不共线向量 $\vec{i},\vec{j}$ 为一组基向量， $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j},\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}$ 。则：
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=a_1 b_2-a_2b_1$

三维叉积

两个三维向量生成一个新的三维向量。
几何意义，得到的结果是垂直于 $\vec{a},\vec{b}$ 所在平面的向量，这个向量的长度是向量 $\vec{a},\vec{b}$ 所围成的平行四边形的面积。
方向：根据右手螺旋定则判断方向。
如下图 $\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}$ ，现将向量移动到同一起点，右手四指从 $\overrightarrow{OA}$ 转到 $\overrightarrow{OB}$ ，则拇指所指方向，即为结果向量的方向。

计算

对空间内一组基向量 $\vec{i},\vec{j},\vec{k},\vec{a}=a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k},\vec{b}=b_{1}\vec{i}+b_{2}\vec{j}+b_{3}\vec{k}$ ，

\begin{aligned} \vec{a}\times\vec{b}&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} \\ &=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}\cdot\vec{i}+(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix}\cdot\vec{j}+(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\cdot\vec{k} \\ &=(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}-(a_1b_3-a_3b_1)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k} \end{aligned}

在空间直角坐标系中： $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3), \vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,-a_1b_3+a_3b_1,a_1b_2-a_2b_1)$ ，有轮换对称的特点。

叉积的运算律

反交换律： $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ ；
分配律： $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ ；
与标量乘法兼容： $(\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\vec{a}\times(\lambda\vec{b})=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})$ ；
数乘结合律： $(\lambda\vec{a})\times(\mu\vec{b})=\lambda\mu(\vec{a}\times\vec{b})$ ；
向量混合积： ${(\vec a\times\vec{b})\cdot c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$ ；
两个非零向量平行时，叉积为零向量。

例题

如图，四边形 $ABCD$ 是圆柱底面的内接四边形， $AC$ 是圆柱的底面直径， $PC$ 是圆柱的母线， $E$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点， $AB=AD$ ， $\angle BAD=60^\circ$ 。
设点 $F$ 在线段 $AP$ 上， $PA=4PF$ ， $PC=4CE$ ，求二面角 $F-CD-P$ 的余弦值。

建立如图所示的空间直角坐标系。设 $CE=1$ ，则各点坐标为 $C(0,0,0),D(1,\sqrt3,0),P(0,0,4),F(1,0,3)$ 。

$\therefore\overrightarrow{CF}=(1,0,3),\overrightarrow{CD}=(1,\sqrt3,0),\overrightarrow{CP}=(0,0,4)$

$\overrightarrow{CF}\times\overrightarrow{CD}=(\begin{vmatrix}0&3\\\sqrt{3}&0\end{vmatrix},\begin{vmatrix}3&1\\0&1\end{vmatrix},\begin{vmatrix}1&0\\1&\sqrt{3}\end{vmatrix})$

$\therefore\overrightarrow{CF}\times\overrightarrow{CD}=(-3\sqrt3,3,\sqrt3)$ ，平面 $FCD$ 的法向量可以为 $(-3,\sqrt3,1)$ 。
同理， $\overrightarrow{CP}\times \overrightarrow{CD}=(-4\sqrt{3},4,0)$ ，平面 $PCD$ 的法向量可以为 $(-\sqrt3,1,0)$ 。

设二面角 $F-CD-P$ 的平面角为 $\theta$ 。

\cos\theta=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{9+3+1}\cdot\sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{39}}{13}

本文作者：Rhonsua

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最后更新：2023-08-25, 22:05:41

By Yurchiu.

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